metodologia

la metodologia usada para resolver los ejercicios pautados fue primcipalmente Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son dos ecuaciones diferenciales parciales que son básicas en el análisis de funciones complejas de variable compleja, debido a que su verificación constituye una condición necesaria (aunque no suficiente) para la derivabilidad de este tipo de funciones.
Sea una función compleja f(z), con z = x + iy. Se sabe que f(z) se puede descomponer en suma de dos funciones reales de dos variables u y v, de manera que f(z) = f(x,y) = f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y). Si la función f(z) es derivable en un punto z0 = x0 + iy0 entonces deben verificarse las condiciones de Cauchy-Riemann:
ux(x0,y0) = vy(x0,y0)
vx(x0,y0) = − uy(x0,y0)

donde ux significa la derivada parcial de la función u respecto a la variable x, usualmente simbolizado . Análogamente para uy, vx y vy.
Además se cumple que el valor de la derivada en el punto, de existir, debe ser:
f'(z0) = ux(x0,y0) + ivx(x0,y0) = vy(x0,y0) − iuy(x0,y0)
Enunciado 1
Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Entonces para cualquier punto contenido en el interior de D y para cualquier camino C cerrado simple que contenga al punto se tiene

k = n + 1.kordenpolodevalorz = z0
donde la integración está tomada en sentido antihorario.
[editar]Enunciado 2

Sea una función holomorfa (función analítica) sobre γ, γ un camino (una curva diferenciable con continuidad a trozos) cerrado y

Siendo un punto, el índice del punto respecto a la curva (el número de veces que la curva rodea al punto teniendo en cuenta el sentido con que lo hace).

Funciones de Variables Complejas

Una función compleja de variable compleja f definida sobre un conjunto D de números complejos es una función que asigna a cada número complejo z D otro número complejo w = f(z) y la representamos con la notación f : D→.

El conjunto D se llama, igual que en el caso de las funciones reales, dominio de f. Igualmente, el conjunto de las imágenes de f se llama imagen de f.

La representación gráfica de una función compleja utiliza dos planos complejos, uno para el dominio y otro para la imagen; estos dos planos se pueden representar separados o bien superpuestos (en este último cas, se debe diferenciar de alguna manera el valor del dominio y el de la imagen; por ejemplo, con diferentes colores).

numeros complejos

aplicaciones de numeros complejos a la ingenieria

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (Fourier). En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma
f(t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ).

En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.

En ecuaciones diferenciales, es habitual encontrar primero las raíces complejas r de la ecuación característica de la ecuación diferencial de primer grado y luego intentar resolver el sistema en términos de las funciones base de la forma: f(t) = ert.